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题目

Gauss 公式表明 \(sumupto(n)=∑^n_{i=1}i=1ni=n(n+1)/2\)，，请运用自然数归纳法形式一，证明对每一个自然数，\(sumupto(n)\) 成立。

n = 1 时

\(sumupto(1)=\sum_{i=1}^{1} i = 1\)

根据 Gauss 公式，代入 n = 1

\(\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1\)

所以，\(sumupto(1)=\frac{1(1+1)}{2}\)

假设对于某个自然数 k，gauss 公式成立

\(sumupto(k)=\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}\)

对于 n = k+1，先将 \(\sum_{i = 1}^{k+1} i\) 拆分成两个部分

\(\sum_{i=1}^{k+1} i = \sum_{i=1}^{k} i + (k+1)\)

由于 \(\sum_{i = 1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}\)，有

\(\sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\)

整理得

\(\sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{(k+1)(k + 2)}{2}\)

综上所述，对于所有自然数 n，都有 \(sumupto(n)=\frac{n(n+1)}{2}\)