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数学分析

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第一章·集合与映射

$\S1$集合

$S=T\Leftrightarrow S\subset T并且T\subset S$
$\complement_XS,即 S_X^C=X $ $S$
无限集必含可列子集。
定理1.1.1 可列各可列集之并也是可列集。$P_{6}$
定理1.1.2 有理数集$\mathbb{Q}$是可列集。$P_{7}$

对于$(0,1]$，即约分数分母从$1$一直增大，可按顺序写出所有分数，故可列。
笛卡尔乘积集合：$A\times B=\{ (x,y)|x\in A并且y\in B\}$

$\S2$映射与函数

单射：$f$逆象具有惟一性；满射：$R_f=Y$；双射：又是单射又是满射。
一元实函数，简称函数。$y$是$x$的函数$\Rightarrow$$y$随着$x$变化而变化。
基本初等函数：
- 常数函数$y=c$
- 幂函数$y=x^\alpha$
- 指数函数$y=a^x(a>0且a\neq 1)$
- 对数函数$y=log_ax$
- 三角函数
- 反三角函数
由以上六类函数经过有限次四则运算与复合运算产生的函数都是初等函数。
初等函数自然定义域是最大的那个。
定义1.2.1$R_f$为值域，$D_f$为定义域。
逆像就是原像。
定理1.2.1（三角不等式）$\vert \vert a\vert -\vert b\vert \vert \le \vert a+b\vert \le\vert a\vert +\vert b\vert $

证明：$-\vert a\vert \vert b\vert \le ab\le \vert a\vert \vert b\vert$
调和平均值：$(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots)$

第二章·数列极限

常用结论：

$(1+h)^n=1+nh+\cdots \ge 1+nh>nh$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a} = 1,a>0$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n^k} = 1,k\in \mathbb{N^+}$
若$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}a_n = a,则\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{a_1+\cdots +a_n}{n} = a$
若$a_n>0,\lim\limits_{x\rightarrow\infty}a_n = a,则\lim\sqrt {a_1a_2\cdots a_n} = a$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n = a,x_n\ge0,a\ge0,则\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x_n} = \sqrt{a}$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1} = e$,前者数列单增，后者单减。
$(1+\frac{1}{n})^n<e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\Rightarrow \frac{1}{n+1}<\ln\frac{n+1}{n}<\frac{1}{n}$

$\S1$实数系的连续性

$\exists !$是存在唯一。
实数系的连续性：实数铺满了整个数轴，每个实数都能找到一个点对应，每个点都可以找到对应的实数。
定理2.1.1（确界存在定理——实数系连续性定理）非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。$P_{23}$
定理2.1.2非空有界数集的上下确界是惟一的。$P_{24}$（反证法）

$\S2$数列极限

无穷小量：极限为0的数列。
数列极限性质$P——{32}$
- 极限的唯一性：定理2.2.1收敛数列的极限唯一。
- 数列的有界性：定理2.2.2收敛数列必有界。
- 数列的保序性：定理2.2.3 推论：保号性
- 极限的夹逼性：定理2.2.4

$\S3$无穷大量

定义2.3.1对于$\forall G>0$，$\exists N，s.t. n>N时有\vert x_n\vert >G$,则数列${x_n}$为无穷大量，即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\infty$
定号无穷大量：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=+\infty$或$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=-\infty$
定理2.3.1大概是无穷大量全体倒数组成的数列为无穷小量，反之亦然。
定理2.3.2无穷大量只要不是与无穷小量相乘或与无穷大量相除，依旧是无穷大量。

$\S4$收敛准则

实数系五大基本定理：
- 非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。定理2.1.1（确界存在定理——实数系连续性定理）
- 单调有界数列必定收敛。（用确界证明）定理2.4.1
- 注意：若为开区间套，则$\xi$可能不属于任一开区间。（证明时注意证明是存在惟一$\xi$）定理2.4.2闭区间套定理
- 有界数列必有收敛子列。定理2.4.5 有限覆盖定理
- Cauchy收敛原理：数列收敛的充分必要条件：是基本数列
实数集$\mathbb{R}$是不可列集定理2.4.3
闭区间套：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0$
数列${x_n}$收敛于$a$，则其子列也收敛于此定理2.4.4
- 推论：数列两个子列收敛于不同极限，则数列发散（常用来判断一个数列的发散）
若数列无界，则存在子列极限为无穷定理2.4.6
基本数列
实数基本数列必有实数极限。此即是实数系的完备性。
实数系的完备性与实数系的连续性等价。$P_{57}$

第三章·函数极限与连续函数

常用结论：

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$
$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=\frac{1}{e} $
$1-\cos x\sim \frac{1}{2} x^2\quad(x\rightarrow 0)$
$\sin x\sim x\quad \tan x\sim x \quad \arcsin x\sim x \quad \arctan x\sim x(x\rightarrow 0)$
$\ln (1+x)\sim x\quad(x\rightarrow 0)$
$e^x-1\sim x\quad(x\rightarrow 0)$
$(1+x)^\alpha -1\sim \alpha x\quad(x\rightarrow 0)$

$\S1$数列极限

函数极限的性质
- 极限的唯一性：若A、B均为某点极限，则A=B
- 局部保序性：
  - 推论1：局部保号性
  - 推论2：局部保不等性
  - 推论3：局部有界性
- 夹逼性
$Heine$定理：$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x_0)=A的充分必要条件是：对于\forall 满足\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=x_0的数列\{ x_n\} ,有\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=A$（反证法）常用于证明某个函数极限不存在$P_{66}$
单侧极限
- 左极限：$\lim\limits_{x\rightarrow x_0-}f(x)=f(x_0-)=B$
- 右极限：$\lim\limits_{x\rightarrow x_0+}f(x)=f(x_0+)=B$
- 函数$f(x)$在$x_0$极限存在的充分必要条件是此处左极限和右极限存在并且相等
函数收敛的$Cauchy$收敛原理 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)$存在且有限的充分必要条件是：$对于\forall \varepsilon >0，\exists X>0,s.t.对\forall x_1 ,x_2>X,成立：\vert f(x_1)-f(x_2)\vert <\varepsilon$

$\S2$连续函数

$f(x)在x_0处有定义，且\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)在x_0处连续，x_0为连续点$。$对于\forall \varepsilon >0，\exists \delta>0,s.t.对\forall x\in 0(x_0,\delta),成立：\vert f(x)-f(x_0)\vert <\varepsilon$

也可以说，在该点连续必须满足：
- 函数在该点有定义，即函数值有限
- 该点左右极限都存在，且等于该点函数值
否则就称为间断点
右连续与左连续
闭区间连续：在开区间连续（每一点都连续）的基础上，左端点右连续，右端点左连续
不连续点
- 第一类（跳跃间断点）：左右极限存在但不相等,即$f(x_0+)\neq f(x_0-)$
- 第二类：左右极限有一个不存在，或都不存在
- 第三类（可去间断点）：左右极限存在且相等，但该点无定义
单调函数不连续点必为跳跃点
反函数存在定理：$f(x)$严格单调，则其存在反函数，且单调性一致
反函数连续性定理：原函数连续且严格单调，其反函数也连续且严格单调
一切初等函数在其定义区间上连续

$\S3$无穷大量与无穷小量的阶

高阶无穷小量（低阶无穷小量）：$若\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=0，则记u(x)=o(v(x)) \qquad (x\rightarrow x_0)，即x\rightarrow x_0时，u(x)是关于v(x)的高阶无穷小量$
同阶无穷小量：$若\exists a>0,当x在x_0某个去心领域中有a\le \vert \frac{u(x)}{v(x)}\vert \le A,，则二者在x\rightarrow x_0为同阶无穷小量。显然只要二者商的极限不为0就是同阶无穷小量$
等价无穷小量：$若\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=1，则记u(x)\sim v(x)\qquad (x\rightarrow x_0)，或者写成u(x)=v(x)+o(v(x))\qquad (x\rightarrow x_0),即x\rightarrow x_0时u(x)是关于v(x)的高阶无穷小量$
有界量：$若\exists A>0,当x在x_0某个去心领域中有\vert \frac{u(x)}{v(x)}\vert \le A，则称x\rightarrow x_0时，为有界量，记作u(x)=O(v(x))\quad (x\rightarrow x_0)$
常用$u(x) = o(1)\quad (x\rightarrow x_0)表示无穷小量，u(x)=O(1)\quad (x\rightarrow x_0)表示有界量，若某无穷小量阶数小于1，则用此方式表示$
极限运算中的等价无穷小量可以替换，乘除直接换，加减带上$o(v(x))$

$\S4$闭区间上的连续函数

有界性定理：闭区间上连续则有界。（反证法+闭区间套）
零点存在定理：函数左右端点处的函数值之积小于零，则必$\exists \xi \in D_f,s.t.f(\xi )=0$
最值定理：函数在闭区间上连续，必能取到最大值和最小值。
中间值定理（介值定理）：函数在闭区间上连续，则一定能取到最大值和最小值之间的任意一个值。
一致连续：$对于\forall \varepsilon >0，\exists \delta>0,s.t.只要有\vert x_1-x_2\vert <\delta,就有\vert f(x_1)-f(x_2)\vert <\varepsilon$
$f(x)$一致连续的充分必要条件：对任何点列${x_n^\prime}$和${x_n^{\prime \prime}}$,只要满足$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}({x_n^\prime}-{x_n^{\prime \prime}})= 0$就成立$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(f({x_n^\prime})-f({x_n^{\prime \prime}}))= 0$（反证法）
$Cantor$定理：闭区间连续，则一致连续（反证法）
函数在开区间上连续，则函数在该开区间一致连续的充分必要条件是：两端点$f(a+)与f(b-)存在$
极限存在是指极限为确定的有限数。

第四章·微分

常用结论($p_{117}$有基本初等函数导数公式表)

$\sec x=\frac{1}{\cos x}\quad \csc x=\frac{1}{\sin x}\quad \cot x=\frac{1}{\tan x}$
$\tan x\rightarrow \sec^2 x$
$\cot x\rightarrow -\csc^2x$
$\sec x\rightarrow \tan x\sec x$
$\csc x\rightarrow -\cot x\csc x$
$\arcsin x\rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x\rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x\rightarrow \frac{1}{1+x^2}$
$\arccot x\rightarrow -\frac{1}{1+x^2}$

$\S1$微分和导数

$对于函数y=f(x)定义域中某点x_0，若存在一个只与x_0有关，与\Delta x无关的数g(x_0)，s.t.当\Delta x \rightarrow 0时有以下式子恒成立：$ $$ \Delta y=g(x_0)\Delta x +o(\Delta x) $$ $则称函数在该点的微分存在，或称函数在该点可微.其中，g(x_0)\Delta x被称为\Delta y的线性主要部分，被称为因变量的微分，两者为等价无穷小量；\Delta x为自变量的微分。$

$有以下微分关系式：\text{d}y=g(x)\text{d}x$
$f^\prime (x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}存在，则函数在x_0可导，该极限值为该点导数$
函数在某点可微的充分必要条件是函数在该点可导

$\S2$导数的意义和性质

可导一定连续，连续不一定可导（自行车.jpg）
单侧导数（注意与导数的极限的区别）：
- 左导数：$f_-^\prime (x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
- 右导数：$f_+^\prime (x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
由极限存在的定义，函数在$x_0$可导的充分必要条件是左极限和右极限存在并相等，即左导数与右导数相等。

$\S3$导数四则运算和反函数求导法则

反函数求导定理：函数在定义域上连续、严格单调、可导且导数不等于零，则有$[f^{-1}(y)]^\prime =\frac{1}{f^\prime (x)}$

$\S 4$复合函数求导法则及其应用

复合函数求导法则：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\cdot \frac{\text{d}t}{\text{d}x}，即链式法则$
对数求导法（两边取对数）
不论$u$是自变量还是中间变量，函数$y=f(u)$的微分形式是相同的（$\text{d}[f(u)]=f^\prime (u)\text{d}u$），这被称为一阶微分的形式不变性。
参数形式函数求导公式：对于函数$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x=\varphi(t) \\ y=\psi (t) \end{aligned} \right. \end{equation}$，可得到$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}(\psi(t))}{\text{d}t}\cdot \frac{\text{d}t}{\text{d}(\phi (t))}=\frac{\psi ^\prime (t)}{\phi ^\prime (t)}$

$\S 5$高阶导数（$P_{130}$）

用数学归纳法！！！！
$Leibniz$公式

第五章·微分中值定理及其应用

常用结论

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+余项$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+余项$
$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots +(-1)^{n-1}x^{n-1}+余项$
$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+余项$
$\arctan x(\frac{1}{1+x^2})=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+余项$

$\S 1$微分中值定理

$Fermat$引理：函数极值点处的导数值存在，则该导数为0（证明：计算左右导数）
$Rolle$定理：函数在闭区间上连续，开区间上可导，且两端点函数值相等，则开区间上至少存在一点$\xi ，s.t.f^\prime (\xi)=0$（证明：最大值最小值分类讨论）
$Lagrange$中值定理：函数在闭区间上连续，开区间上可导，则开区间上至少存在一点$\xi ，s.t.f^\prime (\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$(证明：用$Rolle$定理)
- $f^\prime (\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$为$Lagrange公式$
- 另一种常用形式为$f(x_2)-f(x_1)=f^\prime (\xi)(x_2-x_1)$
- $\xi =a+\theta(b-a),记a=x,b-a=\Delta x,有f(x+\Delta x)-f(x)=f^\prime (x+\theta \Delta x)\Delta x$
下凸函数（凹函数）：$对于定义域中任意两点和\forall \lambda \in(0,1),都有f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，其二阶导数恒大于等于零
$Jensen$不等式：对于下凸函数，且$\sum_{i=1}^n\lambda_i =1,\lambda_i>0，成立f(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i)\le \sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)$
- 若取$\lambda_i=\frac{1}{n}，有f(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}x_i)\le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)$
$Cauchy$中值定理：两函数都在闭区间上连续，开区间上可导，且下面那个函数导数不等于零，有$\xi ，s.t.\frac{f^\prime (\xi)}{g^\prime (\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

$\S2 L^,Hospital$法则

$L^,Hospital法则：若属于待定型\frac{*}{\infty},\frac{0}{0}可用$
两无穷相减可尝试通分再用洛必达
指数类$(\infty^0,1^\infty,0^0)$记得取对数算

$\S3 Taylor$公式

$带Peano余项的Taylar公式：o((x-x_0)^n)$
$带Lagrange余项的：\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

$\S4$函数的$Taylar$公式及其应用

$Maclaurin$公式：泰勒展开取0处的
函数n+2次导数存在，则n+1次导数的泰勒展开的导数为n次导数的泰勒展开式
函数在$x_0$处展开式可以通过在0处的展开式变形得到
求渐近线
- 渐进线充分必要条件：$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty/-\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$
- $a=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}$
- $b=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-ax]$
- 垂直渐进线：$\lim\limits_{x\rightarrow a+/a-}f(x)=\pm \infty$
函数作图：
- 定义域
- 积偶性，周期性
- 特征值：与坐标轴交点，不连续点，不可导点
- 单调区间，极值点，凹凸性，拐点
- 渐近线
- 开始作图
需要写出定义域，方程零点、极值点、特征值等等，写出导数方程，公式计算说明渐进线，画表格$(从x到f{\prime \prime}(x))$,表格记得标记极值、拐点

第六章·不定积分

常用结论

基本积分表$P_{218}$

$\S1$ 不定积分的概念和运算法则

一个函数的原函数全体，称为这个函数的不定积分。
积分时注意原函数定义域与被积函数一样（$\int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln \vert x\vert +C$）

$\S2$换元积分法和分部积分法

换元积分法：
- 第一类：利用$ \int f(x)\text{d}x=\int \tilde{f}(g(x))g^\prime(x)\text{d}x=\int \tilde{f}(u)\text{d}u$
- 第二类：令$x=\varphi (t),\int f(x)\text{d}x=\int \tilde{f}(\varphi (t))\varphi^\prime (t)\text{d}t=\widetilde{F}(t)+C=\widetilde{F}(\varphi^{-1} (t))+C$
分部积分法：
- 利用$\int u(x)v^\prime (x)\text{d}x=u(x)v(x)-\int v(x)u^\prime (x)\text{d}x$

$\S3$有理函数的不定积分及其应用

有理函数：$\frac{p_m(x)}{q_n(x)}，分子为m次多项式，分母为n次多项式。m>n则为假分式，m<n则为真分式$
$q_n(x)中有(x-\alpha_k)^{m_k},则和式中有\frac{\lambda_{k1}}{x-\alpha_k},\frac{\lambda_{k2}}{(x-\alpha_k)^2},\cdots\frac{\lambda_{km}}{(x-\alpha_k)^m};若含有(x^2+2\xi_k x+\eta_k^2)^{n_k}，则和式含有\frac{\mu_{k1}x+\nu_{k1} }{x^2+2\xi_k x+\eta_k^2},\frac{\mu_{k1}x+\nu_{k1} }{(x^2+2\xi_k x+\eta_k^2)^2},\cdots$
有理函数积分：
- $\int \frac{\text{d}x}{x-\alpha}=\ln \vert x-\alpha \vert+C$
- $\int \frac{\text{d}x}{(x-\alpha)^n}=-\frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{(x-\alpha)^{n-1}}+C$
- $P_{226}$

第七章·定积分

常用结论

$\S1$定积分的概念和可积条件

$Riemann可积：f(X)在[a,b]上有界，该区间任意取分点{x_n}，作成一种划分：$

$$ P:a=x_0<x_a<\cdots<x_n=b, $$ $并取任意点\xi_i \in[x_{i-1},x_i]$

$记小区间长度为\Delta x=x_i-x_{i-1}，并令\lambda =\max \limits_{1\le i\le n}(\Delta x),若\lambda \rightarrow 0时，有：$ $$ \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i存在，且极限值与P和\xi_i取法无关 $$ $则称该函数Riemann可积，记Riemann和为S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x,其极限值为定积分，即\int_a^b f(x)\text{d}x =\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x$
$设有定数I，对\forall \varepsilon >0，\exist \delta >0，s.t.对任意划分和任意\xi_i ，只要\lambda <\delta，就有:$ $$ \vert \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i -I\vert <\varepsilon $$ $则黎曼可积$
$Darboux和：记每个小区间的上确界和下确界为M_i,m_i，显然这两者与P有关。$
- $Darboux大和：\overline{S}= \sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i$
- $Darboux大和：\underline{S}= \sum_{i=1}^{n}m_i\Delta x_i$
- $显然有\underline{S}\le \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i\le \overline{S}$
在原有划分加入有限个分点，新的划分大和不增，小和不减。
$Darboux定理：对任意闭区间内邮件函数，恒有：\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\overline{S}(P)=L（\overline{S}(P)下确界）,\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\underline{S}(P)=l（\underline{S}(P)上确界）$
$Riemann可积充分必要条件：\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\overline{S}(P)=L=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\underline{S}(P)=l$
$记\omega_i=M_i-m_i，即f(x)在[x_{n-1},x_{n}]上的振幅，则上述充分必要条件等价为：\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i=0$
闭区间上，连续函数、单调函数、只有有限个不连续点的函数都必可积
有界函数在闭区间上可积充分必要条件是：$\forall \varepsilon >0,存在一种划分，s.t.\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i<\varepsilon$
证明见课本（速速速看看看）

$\S2$定积分的基本性质

保序性：区间上函数值大小与定积分大小同向
绝对可积性：$f(x)可积，则：\vert f(x)\vert也可积，且\vert \int_a^bf(x)\text{d}x\vert \le \int_a^b\vert f(x)\vert \text{d}x$
积分第一中值定理：

数学分析

第一章·集合与映射

\(\S1\)集合

\(\S2\)映射与函数

第二章·数列极限

常用结论：

\(\S1\)实数系的连续性

\(\S2\)数列极限

\(\S3\)无穷大量

\(\S4\)收敛准则

第三章·函数极限与连续函数

常用结论：

\(\S1\)数列极限

\(\S2\)连续函数

\(\S3\)无穷大量与无穷小量的阶

\(\S4\)闭区间上的连续函数

第四章·微分

常用结论(\(p_{117}\)有基本初等函数导数公式表)

\(\S1\)微分和导数

\(\S2\)导数的意义和性质

\(\S3\)导数四则运算和反函数求导法则

\(\S 4\)复合函数求导法则及其应用

\(\S 5\)高阶导数（\(P_{130}\)）

第五章·微分中值定理及其应用

常用结论

\(\S 1\)微分中值定理

\(\S2 L^,Hospital\)法则

\(\S3 Taylor\)公式

\(\S4\)函数的\(Taylar\)公式及其应用

第六章·不定积分

常用结论

\(\S1\) 不定积分的概念和运算法则

\(\S2\)换元积分法和分部积分法

\(\S3\)有理函数的不定积分及其应用

第七章·定积分

常用结论

\(\S1\)定积分的概念和可积条件

\(\S2\)定积分的基本性质